Diferensial Integral dan Penggunaan dalam Bidang farmasi
Mata Kuliah : Matematika Farmasi
Dosen Pengampu : Deny Sutriosno, M.Pd
Disusun Oleh Kelompok 7 :
1. Lady diah Tribuana 2248201039
2. Sakia sofia dewi 2248201040
3. Yohana Magdalena arifiani 2248201044
4. Weni Marselena 2248201013
1. Differensial (Turunan)
Turunan fungsi ( diferensial ) adalah suatu perhitungan terhadap perubahan nilai fungsi karena perubahan nilai input (variabel).Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.
a. Pengertian Misalkan, y adalah fungsi dari x atau y = f(x), dimana y merupakan fungsi yang dapat diturunkan pada setiap titik (differensiabel) maka turunan pertama fungsi y terhadap x ditulis dengan atau y’ atau f’(x), dengan definisi :
y’ = f’(x) = = =
secara umum : f’(x) dan f’(p)
a. Sifat – Sifat Turunan
1. Turunan suatu konstanta c
Jika y = c maka y’ = 0
2. Turunan perkalian fungsi dan konstanta
Jika y = c f(x) maka y’ = c f’(x)
3. Turunan penjumlahan / pengurangan fungsi
Jika y =u(x) v(x) maka y’ = u’(x) v’(x)
1. Turunan perkalian fungsi
Jika y = u(x).v(x) maka y’ = u’(x).v(x) + u(x).v’(x)
2. Turunan pembagian fungsi
Jika y = maka y’ =
1.
2. Turunan fungsi komposisi (dalil rantai) jika y = f(x) fungsi g dan g fungsi x adalah
=
a. Rumus Umum Turunan Fungsi Aljabar
• y = k
• y = kx
• y = k
• y = u
• y = u . v
• y =
• y = k
Rumus Pengembangan
• y =
• y =
Rumus Umum Turunan Fungsi Trigonometri
• y = sin x
• y = cos x
• y = tan x
• y = cot x
• y = sec x
• y = cosec x
Rumus Pengembangan
• y = sin f(x)
• y = cos f(x)
• y = tan f(x)
• y = cot f(x)
• y = sec f(x)
• y = cosec f(x)
persamaan garis singgung
Jika kurva y= f(x), maka gradien gradien garis singgung kurva tersebut di x = a adalah
f’(a) =
Persamaan garis singgung kurva y = f(x) melalui (x1 , y1) adalah :
(y – y1) = m(x – x1) atau (y – y1) = f’(x1) (x – x1).
a. Fungsi naik turun
dikatakan naik jika f’(x) 0
Fungsi Fungsi dikatakan turun jika f’(x) 0
Stasioner
Fungsi f(x) dikatakan stasioner jika f’(x) = 0.
Jenis titik stasioner ada 3 yaitu :
1. Titik balik maksimum, jika f”(x) < 0
2. Titik balik minimun, jika f” (x) > 0
3. Titik belok horizontal, jika f” (x) = 0
a. Turunan kedua
Turunan kedua dari suatu fungsi y = f(x) adalah turunan dari turunan pertama yang diberi lambang :
y” = f”(x) = =
Integral
Konsep Integral
Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya yaitu diferensiasi adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Integral juga merujuk pada antiturunan, mis. sebuah fungsi F memiliki turunan yaitu fungsi f maka fungsi F adalah antiturunan dari fungsi f. Integral dilambangkan dengan ∫ dan integral terdiri dari integral tentu dan taktentu.
Rumus Dasar Integral
Adapun rumus dasar yang digunakan adalah sebagai berikut :
Jenis-jenis integral
1. Integral tak tentu
Integral tak tentu adalah bentuk integral yang hasilnya berupa fungsi dalam variabel tertentu dan masih memuat konstanta integrasi.
Oleh karena itu, rumus umum integral dinyatakan sebagai berikut :
2. Integral tentu
Jika hasil integrasinya berupa nilai tertentu, integralnya disebut integral tentu. Adapun bentuk umum integral tentu adalah sebagai berikut.
setiap daerah memiliki rumus fungsinya masing-masing, contohnya berikut ini.
a) Bentuk daerah jenis 1
b). Bentuk daerah jenis 2
b) Rumus cepat mencari luas
Rumus cepat tidak berlaku untuk seluruh daerah ya, Quipperian. Rumus ini berlaku pada daerah-daerah yang memiliki kondisi berikut.
Memiliki dua batas fungsi, yaitu fungsi kuadrat dan fungsi kuadrat.
Memiliki dua batas fungsi, yaitu fungsi kuadrat dan fungsi linear.
Jika memenuhi dua kondisi di atas, luasnya dapat dicari menggunakan persamaan berikut.
Lalu, apa yang dimaksud dengan a, b, dan c? Ketiga konstanta tersebut diperoleh dari proses berikut.
Jika fungsinya y = f(x) dan y = g(x), maka buat fungsi selisihnya y = f(x) – g(x).
Jika fungsinya y = f(y) dan y = g(y), maka buat fungsi selisihnya y = f(y) – g(y)
Fungsi selisih yang sudah Quipperian dapatkan, jangan disederhanakan lagi agar teridentifikasi nilai a, b, dan c.
Jika Quipperian sudah mendapatkan nilai a, b¸ dan c, substitusikan ke persamaan luas berikut.
Untuk mengasah pemahaman Quipperian tentang materi integral, simak contoh-contoh soal berikut:
Jika diketahui dan nilai , tentukan fungsi f(x)!
Pembahasan:
Untuk menentukan nilai f(x), Quipperian harus tahu bahwa fungsi f(x) merupakan bentuk integral dari f’(x).
Persamaan di atas masih memuat konstanta integrasi, c, sehingga Quipperian harus mencari nilai c tersebut dengan mensubstitusikan nilai fungsi yang diketahui.
Jadi, nilai fungsi yang diminta adalah sebagai berikut.
Contoh soal 2
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :
Pembahasan:
Tentukan batas-batasnya terlebih dahulu.
Batas kanan: x√y
Batas kiri: sumbu y (x = 0)
Batas atas: y = 9
Batas bawah: y = 0
Luas daerah yang diarsir adalah
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 18 satuan luas.
Contoh soal 3
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 – 3x – 10 dengan y = x + 2!
Pembahasan:
Berdasarkan soal di atas, terlihat bahwa daerah dibatasi oleh 2 fungsi, yaitu fungsi kuadrat y = x2 – 3x – 10 dan fungsi linier y = x + 2, sehingga berlaku rumus cepat untuk luas.
Substitusikan nilai a, b, dan c yang sudah diperoleh ke dalam persamaan berikut.
Luas daerahnya adalah sebagai berikut.
Contoh Perhitungan Diferensial Dalam Bidang Farmasi (dari Turunan diatas dapat dicari untuk menentukan suatu yang perlu dicari) Suatu obat diberikan melalui infus IV dengan kecepatan tetap 50 mg/jam kepada subyek selama 4 jam. Dari pustaka diketahui waktu paruh = 8 jam dan volume distribusi obat = 5 L. Berapa kadar obat dalam darah 4 jam sejak pemberian infus C(4)? (dr. Ave Olivia Rahman, M.Sc Bagian Farmakologi FKIK UNJA) Jawab: K= 0,693 =0,086 jam-1 8 C(4) = 50 0,086.5 C(4) = 47,79 mg/l 25 (1-e-0,086.4)
Penggunaan
Penggunaan Persamaan Matematika Konsentrasi Obat Dan Waktu Paruh Menurut Raina Robeva seorang professor matematika sains, secara umum dan sederhana, kecepatan dari eliminasi obat dalam peredaran darah proporsional dengan jumlah yang ada dalam peredaran darah saat itu. Oleh karena itu, jika C(t) adalah konsentrasi obat pada waktu t, maka fakta bahwa obat dieliminasi dari peredaran darah pada kecepatan yang proporsional dengan jumlah yang ada saat itu bisa dirumuskan sebagai berikut: dc(t ) = rc ( t ), dimana r >0 dt Dan solusi dari persamaan diferensial diatas adalah C(t) = C(0)e-rt Tanda negative pada persamaan diatas mengindikasikan konsentrasi obat dalam darah berkurang. Nilai konstan r, disebut kecepatan eliminasi konstan, mengontrol kecepatan obat akan dikeluarkan dari dalam darah. Semakin besar nilai r, maka semakin cepat proses eliminasinya. Hal ini berhubungan dekat dengan waktu-paruh dari obat, yang didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan untuk mengurangi konsentrasi obat dalam darah menjadi setengahnya. Dalam konsep matematika dengan menggunakan solusi persamaan differensial untuk konsentrasi obat di atas, maka akan didapat waktu-paruh (t½) obat adalah: t½ = 24 (2) r.